函数的应用

一．课题：函数的应用举例

二．教学目标：1.了解解实际应用题的一般步骤；

2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；

3．向学生渗透建模思想，使学生初步具有建模的能力。

三．教学重、难点：1．根据已知条件建立函数关系式；

2．用数学语言抽象概括实际问题。

四．教学过程：

（一）复习：

1.函数的三要素是什么？其中起决定作用的是什么？

2.写出等腰三角形顶角 （单位：度）与底角的函数关系。

解：．

说明：函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。

（二）新课：

例1．（课本P90）有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域。

分析：关键是用半径R与腰长x表示上底，由对称性：，因此只要求．

解：设腰长，作垂足为，连结，则，

·

由此：∽，

∴，，

∴，

∴周长，

∵是圆内接梯形∴，

即，解得，

即函数的定义域为．

变式题：求梯形周长的最大值。

解：，，

∴当时，周长的最大值为．

例2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度沿北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相距最近？

解：设小时后行驶到点，行驶到点，则，，

过作于，

∴ ，，

∴，

∴

，

∴时最小，最小值为，即两船行驶小时相距最近。

五．课堂练习：教材练习1，2　　

六．小结：1．能够运用函数的性质和数学知识解决某些简单的实际问题；

2．了解数学应用题的建模方法：

（1）认真审题，准确理解题意；

（2）抓准数量关系，运用已有的数学知识和方法，建立函数关系式；

（3）根据实际情况确定定义域。

七．作业：习题2.9第1，2，3题，

补充：

1.建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁的造价为元/，池底的造价为元/，把总造价（元）表示为底的一边长的函数。

2. 如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽，边坡的倾角为，水深，求横截面中有水面积与水深的函数关系式。

3.一个圆柱形容器的底部直径是，高是，现在以/的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度（与注入溶液的时间之间的函数关系，并写出函数的定义域与值域。

4.有一批材料可以围成长的围墙，现用此材料围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成两块矩形（如图），则围成的矩形场地面积的最大值为__________________.　　

5. 有一批材料可以围成长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形场地的最大面积为.