两条直线的平行与垂直(3.1.2)

两条直线的平行与垂直(3.1.2)

教学目标

(一)知识教学

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.　　

(二)能力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．

(三)学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

讨论:两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直

设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?　　

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系)　　

∴tgα1=tgα2．

即　k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等:即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

又∵两条直线不重合，

∴L1∥L2．

结论:两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定.　　

下面我们研究两条直线垂直的情形．

如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

，

可以推出　:α1=90°+α2．L1⊥L2．

结论:两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意:结论成立的条件.即如果k1·k2 = -1,那么一定有L1⊥L2;反之则不一定.　　

(借助计算机,让学生通过度量,感知k1, k2的关系,并使L1(或L2)转动起来,但仍保持L1⊥L2,观察k1, k2的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使α1为锐角,钝角等).　　

例题

例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.　　

分析:借助计算机作图,通过观察猜想:BA∥PQ,再通过计算加以验证.(图略)

解:直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 　　

直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,　　

因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ.　　

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图,通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)　　

解同上.　　

例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.　　

解:直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,

直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,　　

因为k1·k2 = -1所以AB⊥PQ.

例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3),试判断三角形ABC的形状.　　

分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.(图略)　　

课堂练习

P94练习1.2.

课后小结

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件,判定两条直线平行或垂直.　　

(3)应用直线平行的条件,判定三点共线.

布置作业

P94习题3.15.8.　　

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