抛物线练习题

抛物线练习题

一、选择题

1．如果抛物线y²=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）

A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）

2．圆心在抛物线y²=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）

A．x²+y²-x-2y- =0B．x²+y²+x-2y+1=0

C．x²+y²-x-2y+1=0D．x²+y²-x-2y+=0　　

3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）

A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）

A．mB．2mC．4.5mD．9m

5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）

A．y²=－2xB．y²=－4xC．y²=－8xD．y²=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）

A．y²=-2xB．y²=-4x

C．y²=2xD．y²=-4x或y²=-36x　　

7．过抛物线y²=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=（）

A．8B．10C．6D．4

8．把与抛物线y²=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（）

A．B．

C．D．

9．过点M（2，4）作与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线l有（）

A．0条B．1条C．2条D．3条

10．过抛物线y=ax²(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（）

A．2aB．C．4aD．

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线y²=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为．

12．抛物线y=2x²的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是．

13．P是抛物线y²=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是．

14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为

．

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)

16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）

17．动直线y=a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)

18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)

19．如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)

20．已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．(14分)

抛物线参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	D	A	B	C	B	A	C	C	C

二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．212．13．（1，0）14．

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．

16．(12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得

，解之得或，

故所求的抛物线方程为，

17．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得

消去，得轨迹方程为，即

18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，

设桥拱抛物线方程为，由题意可知，

B（4，-5）在抛物线上，所以，得，

当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米

19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l₁为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为，

其中 分别为 A 、 B 的横坐标， ．

所以，．由，得

①

②

联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．

因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去．∴p=4，．

由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．

20．(14分)[解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，

得．设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，

则又，

∴．∵，∴．解得．

（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得

，．

∴．又为等腰直角三角形，

∴，∴

即面积最大值为