2009年上海市普通高等学校春季招生考试

2009年上海市普通高等学校春季招生考试

数学试卷

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.　　

2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.　　

一.填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.　　

1．函数 的定义域是.

2．计算：（为虚数单位）.

3．函数的最小正周期.

4．若集合，集合，则.

5．抛物线的准线方程是.

6．已知.若，则与夹角的大小为.

7．过点和双曲线右焦点的直线方程为.

8．在△中，若，则等于.

9．已知对于任意实数，函数满足.若方程有2009个实数解，

则这2009个实数解之和为.

10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘.若每敲1次在屏幕上出现一个

字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”

的概率为

（结果用数值表示）.

11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数

轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标1

所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作

（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成1，等等）.

那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与

1重合的点所对应的坐标是；原闭区间上（除两个端点外）的点，

在第次操作完成后（），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为

.

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分.　　

12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的[答] ()

（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.

（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.

13．过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线

方程是[答] ()　　

（A）.（B）.（C）.（D）.　　

14．已知函数若，则的取值范围是[答] ()

（A）

（D）

（C）

（B）

（A） . （B） 或 . （C） . （D） 或 .

15．函数的反函数图像是[答] ()

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.

16.(本题满分12分)

如图，在斜三棱柱中，

，，侧棱与底面所成的

角为，，.求斜三棱柱

的体积.

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知数列的前项和为，，且（为正整数）.

（1）求数列的通项公式；

（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.

18.(本题满分14分)

|

我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 百公里）的中心 为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点） 到火星表面的距离为 百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点） 到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点 第一次逆时针运行到与轨道中心 的距离为 百公里时进行变轨，其中 、 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到 1百公里）.

19.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.

如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，

其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）.设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.

（1）当 时，证明：顶点 不在同一条直线上；

（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；

（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.

20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.

设函数，其中为正整数.

（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；

（2）证明：；

（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.

2009年上海市普通高等学校春季招生考试

数学试卷

参考答案及评分标准

说明

1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.　　

2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.　　

3.第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数. 　　

4.给分或扣分均以1分为单位.　　

答案及评分标准

一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.　　

1..2..3..4..5..

6..7.5.8..9.0.10..

11.；为中的所有奇数.

二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.　　

题号	12	13	14	15
代号	B	C	A	C

三．（第16至20题）

16. [解]在△中，

.……3分

作平面，垂足为，则，

……6分

在△中，

.……9分

.……12分

17. [解]（1），①

当时，.②

由①-②，得.

.……3分

又，，解得.……4分

数列是首项为1，公比为的等比数列.

（为正整数）.……6分

（2）由（1）知，，……8分

.……10分

由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得.

数列单调递增，当时，数列中的最小项为，

必有，即实数的最大值为.……14分

18. [解]设所求轨道方程为，.

，.……4分

于是.

所求轨道方程为.……6分

设变轨时，探测器位于，则

，，

解得，（由题意）.……10分

探测器在变轨时与火星表面的距离为

.……13分

答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.……14分

19. [证明]（1）由题意可知，，

.……3分

，

顶点不在同一条直线上.……4分

（2）由题意可知，顶点的横坐标，

顶点的纵坐标.……7分

对任意正整数，点的坐标满足方程，

所有顶点均落在抛物线上.……9分

（3）[解法一]由题意可知，顶点的横、纵坐标分别是

消去，可得.……12分

为使得所有顶点均落在抛物线上，则有

解之，得.……14分

所应满足的关系式是：.……16分

[解法二]点的坐标为

点在抛物线上，

.……11分

又点的坐标为且点也在抛物线上，

，把点代入抛物线方程，解得.……13分

因此，，抛物线方程为.

又

所有顶点落在抛物线上.……15分

所应满足的关系式是：.……16分

20.[解]（1）在上均为单调递增的函数.……2分

对于函数，设，则

，

，

函数在上单调递增.……4分

（2）原式左边

.……6分

又原式右边.

.……8分

（3）当时，函数在上单调递增，

的最大值为，最小值为.

当时，，函数的最大、最小值均为1.

当时，函数在上为单调递增.

的最大值为，最小值为.

当时，函数在上单调递减，

的最大值为，最小值为.……11分

下面讨论正整数的情形：

当为奇数时，对任意且

，

以及，

，从而.

在上为单调递增，则

的最大值为，最小值为.……14分

当为偶数时，一方面有.

另一方面，由于对任意正整数，有

，

.

函数的最大值为，最小值为.

综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.

当为偶数时，函数的最大值为，最小值为.……18分