高三数学查漏补缺题

一、三角部分

1．已知 且

（I）求（或）；（II）求

解（I），

.

（）

（II），

.　　

，

..　　

解法2：，，.

.　　

2．右图为函数的一段图象.

（I）请写出这个函数的一个解析式；

（II）求与（I）中函数图象关于直线

对称的函数图象的解析式，并作出它一

个周期内的简图.

解：（I）又

由的图象过

（为其中一个值）.

∴为所求.

（II）设为所求函数图象上任意一点，该点关于直线对称点为，则点必在函数的图象上.

∴，即

的图象关于直线对称的函数图象的解析式是

.

列表：作图：

	0
	0	-3	0	3	0

二、概率

3．（文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率是，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟，求：

（I）前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率；

（II）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）

解：（Ⅰ）前4辆恰有2辆左转行驶的概率

（Ⅱ）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率

.

4.（理科）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.　　

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.　　

解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	2	3
P

甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.　　

（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

P（A）===，P（B）===.　　

因为事件A、B相互独立，

方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

P（）=P（）P（）=（1－）（1－）=.　　

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P（）=1－=.　　

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.　　

方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P=P（A·）+P（·B）+P（A·B）=P（A）P（）+P（）P（B）+P（A）P（B）

=×+×+×=.　　

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

三、立体几何

5．已知矩形ABCD中，AB=，AD=1.将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上.

（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面BCD；

（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；

A

B

C

D

A

B

C

D

E

（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角B-AC-E的大小.

方法1：

（Ⅰ）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，

即平面ACD经过平面BCD的垂线，

∴平面ADC⊥平面BCD. 　　

F

A

B

C

D

E

G

（Ⅱ）解：依条件可知BC⊥DC，又平面 平面 ，

且平面平面＝

∴BC⊥平面ACD.∵DA平面ACD，

∴BC⊥DA.①依条件可知DA⊥AB.

②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC.　　

设点C到平面ABD的距离为d，

∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D-ABC的高.　　

∴由V_C-ABD=V_D-ABC，得dS_△ABD=DAS_△ABC.

解得d=.　　

即点C到平面ABD的距离为. 　　

（Ⅲ）解：取中点，连为中点

由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.　　

过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，

则GF为EG在平面ABC的射影，

∴∠EGF是所求二面角的平面角.

在△ABC中

FG＝BC＝,又EFAD，∴EF＝

在△EFG中容易求出∠EGF=45°.

即二面角B-AC-E的大小是45°.

方法2：（Ⅰ）证明：如图，以CB所在直线为x轴，DC　　

所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.　　

所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，－，0），设

∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，

由且,　　

得.

∴点A的坐标为A（0，，）.　　

∵n₁=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量.　　

而=（1，0，0）是平面ADC的一个法向量.　　

∵n₁·=（0，0，1）·（1，0，0）=0，

∴平面ACD⊥平面BCD.

（Ⅱ）解：设点C到平面ABD的距离为d，

∵=（0，，-），=（1，，），

=（0，，），

容易求出平面ABD的一个法向量为n₂=（-，1，-1）.　　

∴d=|||cos<，n₂>|=|1×|=.　　

即点C到平面ABD的距离为.　　

（Ⅲ）解：∵=（-1，-，），=（1，0，0），

∴容易求出平面ABC的一个法向量为n₃=（0，1，1）.

A（0，-，），E（，-，0），

∴=（，0，-）.　　

∴容易求出平面AEC的一个法向量为n₄=（2，，）.　　

∵n₃·n₄=0++=2，|n₃|=，|n₄|=2，

∴cos<n₃，n₄>==.

∴二面角B-AC-E的大小是45°.

6*．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝NC₁.　　

（Ⅰ）求证：AM面BC；（或若为的中点，求证：.）

（Ⅱ）若二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值为，求的值；

（Ⅲ）在第（Ⅱ）的前提下，求点B₁到平面AMN的距离.　　

解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，且AB=AC，所以AMBC，

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面,AM又.所以AM平面. 　　

（或：连结，又,.）

（II）因为AM平面

且M平面，NM平面

∴AMM, AMNM，

∴MN为二面角—AM—N的平面角.　　

∴，设C₁N=，则CN=1－

又M=,MN=,

连N，得N＝，

在MN中，由余弦定理得

,

得=.故=2.　　

（III）过在面内作直线，为垂足.又平面，所以AMH.于是H平面AMN，故H的长即为到平面AMN的距离.在中，

H＝M.故点到平面AMN的距离为1.

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,　　

C（0,1,0）, A（），设N（0,1,a）,所以，

，,

因为所以,同法可得.　　

又故AM面BC.　　

（II）由（Ⅰ）知﹤﹥为二面角—AM—N的平面角,以下同法一.　　

（Ⅲ）设n=（x,y,z）为平面AMN的一个法向量，则由得，由（II）知

.

故可取

到平面AMN的距离为

四、解不等式

7．已知集合A＝，B＝.

（I）当a＝2时，求AB；

（II）求使BA的实数a的取值范围.　　

解：（I）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）

∴AB＝（4，5）

（II）解集合B＝，

当，则B=；当，则B＝（2a，a²＋1），

解集合A＝

当a＜时，A＝（3a＋1，2）；当a＝时，A＝；

当a＞时，A＝（2，3a＋1）；

要使BA，

当，则B=,BA成立；

当，则B＝（2a，a²＋1），

当a＜时，A＝（3a＋1，2）要使BA，必须，此时a＝－1；

当a＝时，A＝，而B，故使BA的a不存在；

当a＞且时，A＝（2，3a＋1），要使BA，必须，此时1<a≤3.　　

综上可知，使BA的实数a的取值范围为

8．*（理）已知不等式：----------①

--------------------------------------------②

------------------------------------------③

（I）分别求不等式①②的解集.

（II）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.

（III）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.

（文）已知不等式：----------------------------------------------------①

--------------------------------------------②

------------------------------------------③

（I）分别求不等式①②的解集.

（II）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.

（III）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.

解：（I）①的解集为A={x|－1<x<3}（理，且x≠0）

I②的解集为B={}

（II）由（1）:或知

要满足题意的要求，则方程2x²+mx－1=0的一根小于等于0（文：小于0），另一根大于等于3.

设f（x）= 2x²+mx－1，则（文）

（III）要满足题意的要求，则方程2x²+mx－1=0的两根应在区间（－1，4]上.

设f（x）= 2x²+mx－1，抛物线开口向上且f（0）＝－1<0,故

则.

五、数列

9．已知各项均为正数的数列，，其中，

（I）证明；

（II）设，试证明；

（III）若数列满足，求数列的前项和.

（I）运用数学归纳法证明如下：

①当时，由条件知，故命题成立；

②假设当时，有成立

那么当时，故命题成立

综上所述，命题对于任意的正整数都成立.

（II）

（III）

且

数列是以为首项，以2为公比的等比数列.

.

10.已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.

（I）若，求；

（II）试写出关于的关系式，并求的取值范围；

解:（I）.

（II），

，

当时，.

六、解析几何

11．已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.　　

（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.　　

解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距.

，

∴，

，故所求椭圆的标准方程为+；

（II）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：

、（0，-6）、（0，6）

设所求双曲线的标准方程为，由题意知半焦距，

，

∴，

，故所求双曲线的标准方程为.

12．已知定点点P在轴上运动，M在x轴上，N为动点，且

;

（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点，的夹角为，求证：

解：（Ⅰ）

由①

0，0，

即并代入①，

得即为所求.

（Ⅱ）过点的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点

设l的方程为且

由消去y，

得

设

则

.

七、函数与导数

13．已知函数和的图象关于y轴对称，且

（I）求函数的解析式；

（II）解不等式；

解：（I）设点为函数的图象上任意一点，则点P关于y轴对称点为，因为函数和的图象关于y轴对称，所以点一定在函数图象上，代入得，所以.　　

（II）

或或

所以不等式的解集为

14．如图，等腰梯形的三边分别与函数，的图象切于点.求梯形面积的最小值.

解:设梯形的面积为，点P的坐标为.　　

由题意得，点的坐标为，直线的方程为.　　

直线的方程为

即：

令得，

令得，

当且仅当，即时，取“=”且，

时，有最小值为.　　

梯形的面积的最小值为.　　

八、应用题

15．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.　　

（I）写出y与x之间的函数关系式；

（II）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）

（III）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床.　　

问用哪种方案处理较为合理？请说明理由.　　

解：（I）依题得：

（II）解不等式

（III）（1）

当且仅当时，即x=7时等号成立.　　

到2015年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元.　　

（2）

故到2018年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元

因为盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理.　　

16*．甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在、两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从、两个喷雾器中分别取1千克的药水，将中取得的倒入中，中取得的倒入中，这样操作进行了次后，喷雾器中药水的浓度为%，喷雾器中药水的浓度为%．

（Ⅰ）证明是一个常数；

（Ⅱ）求与的关系式；

（Ⅲ）求的表达式．

解：（Ⅰ）开始时，中含有1012%＝1.2千克的农药，中含有106%＝0.6千克的农药，次操作后，中含有10%＝0.1千克的农药，中含有10%＝0.1千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，

从而有，所以＝18（常数）.

（Ⅱ）第次操作后，中10千克药水中农药的重量具有关系式：

，

即，再由（1）知，

代入化简得①　　

（Ⅲ）令，利用待定系数法可求出＝－9，

所以，由①，

，

，

20080526

可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，

由等比数列的通项公式知：，

20080526

所以 .