《导数》变式题（新教材人教版例题变式题）

【备课资料四】

《导数》变式题（新教材人教版例题变式题）

一导数的概念与运算

1。如果质点A按规律s=2t³运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（）

A. 　6m　/sB. 　18m　/sC. 　54m　/sD. 　81m　/s　　

解析：∵s′=6t²，∴s′|_t=3=54.答案：C　　

变式：定义在D上的函数 ，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

文（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.　　

理（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.　　

解：（1）∵.由≤1，得≤1

∴

令，显然在上单调递减，

则当t→+∞时，→1.∴

令，显然在上单调递减，

则当时，∴

∴0≤a≤1；

故所求a的取值范围为0≤a≤1.　　

（2）∵.由≤1，得≤1　　

∴

令，则.

当时，有，

∴在[0，+∞上单调递减.

故当t=0时，有；

又，当t→+∞时，→0，

∴，从而有≤0，且.∴0≤a≤1；故所求a的取值范围为0≤a≤1.

2.已知的值是（）

A.B. 　2C　.D.－2

解：

得选A

变式1：（）

A．－１Ｂ．－2C．－3D．1

解：

.

选B.

变式2：（）

A．B．C．D．

3．人教版选修1－1第84页例2，选修2－2第8页例2：

根据所给的函数图像比较

变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）

A.y

B.

C.

D.O1234x

解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT

点B处的切线为BQ，T

yB

A

如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于Q

切线AT的倾斜角

O1234x

所以选B

4．人教版选修1－1第93页习题A组第4题，选修2－2第18页习题A组第4题，

求所给函数的导数：

。

变式：

设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.

且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（）

A．(－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,－3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0, 3)　　

5．人教版选修1－1第93页A组第6题、选修2-2第18页A组第6题

已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.　　

变式1：已知函数.(1)求这个函数在点处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝e^x的切线，求切线的方程.

解：（1）依题意得：切点为，

由点斜式得切线方程，

即.　　

（2）设切点为

由点斜式得，

切线过原点，

切点为由点斜式，得：即：

变式2：函数y＝ax²＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()

A.B.C.D. 1　　

解：设切点为①

②

由①、②得,选B

说明：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标”2．求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点.

6．人教版选修1－1第99页例2选修2－2第25页例2

判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

变式1：函数的一个单调递增区间是

A.B.C.D.

解：，选A

或（理科要求：复合函数求导）

变式2：（1）已知函数(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的值是. (2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是.

解：(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），(2)若函数在上是单调增函数

解：（1），因为函数的单调递减区间是（-3，1），

所以-3,1是方程的两个实数根,由韦达定理，（草图略）

（2）若函数在上是单调增函数，

如图示，分类讨论：

①当即即条件成立；

②当，即条件成立；

综上，条件成立，为所求.

变式3：设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，

即.因为所以.

又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以

而

将代入上式得因此故，，

（II）解法一.

当时，函数单调递减.

由，若；若

由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则

所以

所以的取值范围为

解法二：

因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）

上的抛物线，

所以即解得

所以的取值范围为

7．人教版选修1－1第103页例4，选修2－2第29页例4

求函数的极值.　　

人教版选修1－1第106页例5，选修2－2第32页例5　　

求函数在上的最大值与最小值..　　

变式1：

函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的个数。选A　　

变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.　　

解：

（Ⅰ）由图得

X	(0,1)	1	(1,2)	2
		0		0
		极大值		极小值

则=1; 　　

（Ⅱ）依题意得即

.　　

变式3：

若函数，当时，函数有极值，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

解：

（1）由题意：

所求解析式为

（2）由（1）可得：

令，得或

当变化时，、的变化情况如下表：

			—
	单调递增↗		单调递减↘		单调递增↗

因此，当时，有极大值

当 时， 有极小值

函数的图象大致如图：……13分y=k　　

由图可知：

变式4：已知函数，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c²恒成立，求c的取值范围。

解：

f¢（x）＝3x²－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

X	（－¥，－）	－	（－，1）	1	（1，＋¥）
f¢（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）		极大值	¯	极小值

f（x）＝x³－x²－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，

而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<c²（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c　²>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2

三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题

8.人教版选修1－1第108页B组习题，选修2－2第34页B组习题

利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：，

证明：（1）构造函数，

，当，得下表

	+	0	—
	单调递增	极大值	单调递减

总有

另解，当，

当，单调递增，……①

当，单调递减，………………②

当…………………………………………………………③

综合①②③得：当时，

（2）构造函数，

当，当单调递减；

当单调递增；极小值=，

总有即：.　　

综上（1）（2）不等式成立.

变式：（理科）设函数f(x)=(1+x)²－ln(1+x)².若关于x的方程f(x)=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.　　

解：

方程f(x)=x²+x+a,即x－a+1－ln(1+x)²=0，记g（x）=x－a+1－ln(1+x)².　　

所以.由>0,得x<－1或x>1,由<0　　

得－1

所以g(x)在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，为使f(x)=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在上各有一个实根，于是有

9.函数若恒成立,求实数的取值范围

解：由，得单调递增；

又，

所以是奇函数.，

在上单调递增，恒成立，即：恒成立，分类：①当恒成立，适合；

②当恒成立解得：

综上，

说明:（1）通过研究函数的性质（单调性与奇偶性），利用函数的性质解决不等式问题，是函数思想的重要应用.（2）找寻使恒成立的条件实际上依然用的是函数图像（数形结合）的函数思想.

变式:设函数若恒成立，求实数的取值范围.　　

解：由，得单调递增；

又，

所以是奇函数.，

恒成立，即恒成立.　　

①当成立；②当

10.如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q　　

(1)若t已知,求切线PQ的方程(2)求的面积的最大值

解：（1） ，所以过点M的切线的斜率为

由点斜式得切线PQ方程为，

即……①

(2)…………②

对①令x=6得…………③

令y=0得…………④

③④代入②得

，令解得

T	(0,4)	4	(4,6)
S’	+	0	-
S	增	极大值64	减

所以当t=4时有极大值64,　　

所以当t=4时,的面积的最大值为64.

11.用长为　90cm　，宽为　48cm　的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90⁰角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

解：设容器的高为x，容器的体积为V.　　

　　则(0 < x < 24)　　

　　　　＝x

∵x

由

∴

　　所以 当

　　又

　　所以0

答：该容器的高为10cm时，容器有最大容积19600

12.某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？

分析：先建立总利润的目标函数，总利润=总销售量-总成本C(x)=产品件数*产品单价-C(x),因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.　　

解：设产品的单价P元，据已知，，

设利润为y万元，则

，

递增；递减，

极大=最大.　　

答：当产量为25万件时，总利润最大

四、理科定积分、微积分

选修2-2第59页例1、例2　　

计算下列定积分：

变式1：计算：；

（1）；（2）

解：.（1）

(2)利用导数的几何意义：与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为（图略）

变式2：求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.　　

分析：利用定积分的定义解题，应当画出草图.　　

解：先求出抛物线和直线交点坐标（1，1），（1，-1）

利用定积分的定义易得：

变式3：在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.