《圆锥曲线与方程》教材例题变式题

【备课资料五】

《圆锥曲线与方程》教材例题变式题

X

Y

P

O

D

M

1．（人教A版选修1－1，2－1第39页例2）

如图，在圆上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

变式1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则，．即，．

因为点P在圆上，所以

．

即，

即，这就是动点M的轨迹方程．

变式2：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得

，

即，．

因为点P在圆上，所以

．

即，

即，这就是动点M的轨迹方程．

变式3：设点P是曲线上的任一点，定点D的坐标为，若点M满足．当点P在曲线上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得

，

即，．

因为点P在圆上，所以

．

即，这就是动点M的轨迹方程．

2．（人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题）

已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点．

（1）求的周长；

（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？

变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

A．B．C．D．

解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得．选D．

解二：∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，∴.

∵，∴，∴．故选D．

变式2：已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为．

解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．

解二：设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．

变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

解：（Ⅰ）设椭圆方程为，

则直线AB的方程为，代入，化简得

.　　

设A（），B），则

由与共线，得

又，

即，所以，

故离心率

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以椭圆可化为

设，由已知得

在椭圆上，

即①

由（Ⅰ）知

又，代入①得

故为定值，定值为1.　　

3．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题 2.1A组第6题）

已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．

变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为

A．B．3C．D．

解：依题意，可知当以F₁或F₂为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，故选D．（可以证明不存在以点P为直角顶点的三角形）

变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是

A．B．6C．D．12　　

解：由于椭圆的长半轴长，而根据椭圆的定义可知的周长为，故选C．

4．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题）

如图，矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．请证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N在同一个椭圆上．

变式1：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数．

解：将直线代入双曲线C的方程整理，得

……①

依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得．

设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

……②

∵双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：

整理，得……③

把②式及代入③式化简，得

解得，故．

变式2（2002年广东卷）：A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．

（Ⅰ）求直线AB的方程；

（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
解：（Ⅰ）直线AB的方程为．（求解过程略）

（Ⅱ）联立方程组得、．

由CD垂直平分AB，得CD方程为．

代入双曲线方程整理，得．

记，以及CD的中点为，

则有从而．

∵．

∴．

又．

即A、B、C、D四点到点M的距离相等．

故A、B、C、D四点共圆．

变式3（2005年湖北卷）：设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.　　

（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.　　

（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为整理，得①

设①的两个不同的根，

②

是线段AB的中点，得

解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范围是（12，＋）.　　

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

（Ⅱ）解法1：代入椭圆方程，整理得

③

③的两根，

于是由弦长公式可得④

将直线AB的方程⑤

同理可得⑥

假设在在＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.　　

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

⑧

由⑥式知，⑧式左边＝

由④和⑦知，⑧式右边＝

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由（Ⅱ）解法1及.　　

代入椭圆方程，整理得

③解得.　　

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

⑤解得.　　

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.　　

又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.　　

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）

5．（人教A版选修1－1，2－1第59页习题2.2B组第1题）

求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．

变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是

A．B．C．D．

解：依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，选D．

变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）

A．B．

C．D．

解：∵抛物线的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的，又，则，进而，所以椭圆方程为，选A．

6．（人教A版选修1－1，2－1第66页例4）

斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

变式1：如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若，则___．

解：根据抛物线的定义，可知（，2，……，8），

∴．

变式2（2004年湖南卷理）：设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点使，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为．

解：设，则，于是，即，由于，，故，又，故．

BN

F

AN

CN

O

X

Y

变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的点，过焦点 的直线 交抛物线于另一点 ．

（Ⅰ）试证：；

（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．试证：．

证明：（Ⅰ）对任意固定的,因为焦点,所以可设直线的方程为,将它与抛物线方程联立，

得，由一元二次方程根与系数的关系得．

（Ⅱ）对任意固定的，利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率，故在处的切线方程为，①

类似地，可求得在处的切线方程为，②

由②减去①得，

从而，，，③

将③代入①并注意到得交点的坐标为.　　

由两点间距离公式,得

=.从而.　　

现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，

…

…

=.　　

7．（人教A版选修2－1第67页例5）

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

O

B

C

F

A

X

Y

变式（2001年全国卷）：设抛物线 （ ）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

证明1：因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为

，代人抛物线方程得

．

若记，，则是该方程的两个根，所以

．

因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，

F

A

X

Y

D

故直线CO的斜率为

即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

证明2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E，

过A作AD⊥L，D是垂足．则

AD∥FE∥BC．

连结AC，与EF相交于点N，则

O

E

B

C

N

根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．

8．（人教A版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A组第8题）

斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，且，求直线的方程．

变式1（2002年上海卷）：已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．

解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．

联立得．

设，，则．

所以．

故线段DE的长为．

变式2：直线与椭圆交于不同两点A和B，且（其中O为坐标原点），求k的值．

解：将代入，得．

由直线与椭圆交于不同的两点，得

即．

设，则．

由，得．

而

．

于是．解得．故k的值为．

变式3：已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．

解：直线的方程为，

将，

得．

设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，

则

又，

∴

．

∵，

∴．

解得．